Logica proposizionale
Le operazioni fondamentali della logica proposizionale sono l’affermazione di un concetto, la sua negazione NOT, l’operatore logico inclusivo AND (prodotto logico, detto anche intersezione), l’operatore logico esclusivo OR (somma logica, detta anche unione), l’implicazione logica (x implica y, scritto anche x --> y, che vuol dire: x AND y = x)
Non mi dilungherò in esempi e spiegazioni, dal momento che il lettore ne saprà più di me
Le negazioni sono insiemi
Iniziamo subito con le novità apportate dal presente documento.
La negazione è un insieme.
Quando scrivo “NOT x”, suppongo qualsiasi cosa tranne “x”, quindi ho già un insieme di oggetti. Esempio: se dico “NOT ragazza”, allora potrebbe essere un ragazzo, o un’automobile, o un triangolo, o un gatto. Quindi ho generato un insieme di oggetti.
I raggruppamenti
Adesso vedremo che le leggi della complementarità di Augustus de Morgan si applicano anche agli insiemi, oltre che alle negazioni. Le negazioni sono un caso particolare di insieme, cioè un insieme molto grande, che contiene tutto tranne l’oggetto che viene negato.
Ma più in generale queste leggi regolano il comportamento degli insiemi
Gli insiemi generati da queste operazioni verranno chiamati “raggruppamenti”, per non confonderli con la teoria di Georg Cantor.
Scriviamo quindi le leggi dei raggruppamenti, sulla base delle leggi di Augustus de Morgan.
Assumiamo convenzionalmente che se x è un concetto, allora N(x) è il raggruppamento di quel concetto. Esempio: N(uomo) sarà il raggruppamento di tutti gli uomini.
Vediamo esempi concreti di queste leggi.
Esempio 1:
umano = uomo OR donna
N(umano) = N(uomo) AND N(donna)
Un essere umano è sempre un uomo oppure una donna.
Quindi l’insieme di tutti gli esseri umani sarà dato dall’insieme di tutti gli uomini più l’insieme di tutte le donne, sostituendo l’operatore esclusivo OR con l’operatore inclusivo AND. In altre parole, il raggruppamento di tutti gli esseri umani deve raggruppare sia gli uomini che le donne.
Esempio 2:
Marco Aurelio = filosofo AND imperatore
N(Marco Aurelio) = N(filosofo) OR N(imperatore)
Marco Aurelio era sia filosofo che imperatore.
Quindi l’insieme costituito dal solo Marco Aurelio si trova indifferentemente all’interno dell’insieme di tutti i filosofi, oppure all’interno dell’insieme di tutti gli imperatori, perché entrambi lo contengono. Sostituendo l’operatore inclusivo AND con l’operatore esclusivo OR. In altre parole, se raggruppiamo tutti i filosofi, oppure tutti gli imperatori, in entrambi i casi ci troviamo Marco Aurelio dentro.
Esempio 3:
triangolo --> figura geometrica
N(figura geometrica) --> N(triangolo)
I triangoli sono figure geometriche, cioè l'esistenza di un triangolo implica l'esistenza di una figura geometrica. Al contrario, l'insieme di tutte le figure geometriche implica l'insieme di tutti i triangoli, perchè questi ultimi ne sono una quota parte. In altre parole, se raggruppiamo tutte le figure geometriche, dentro ci saranno pure i triangoli.
Più in generale, un insieme I={a,b,c,d} andrebbe riscritto come:
x = a or b or c or d
I = N(x) = N(a) and N(b) and N(c) and N(d)
dove "x" corrisponde all'elemento generico dell'insieme.
Si noti che anche nel caso in cui i raggruppamenti abbiano “cardinalità uno”, per esempio il raggruppamento dell’indice della mano destra, vanno sempre incapsulati nella funzione N(x), altrimenti si otterrebbe l’insieme vuoto, perché gli elementi di un insieme sono tutti esclusivi tra loro, cioè:
x = a or b or c or d
insieme vuoto = a and b and c and d
Esempio:
dito della mano destra = pollice or indice or medio or anulare or mignolo
insieme vuoto = pollice and indice and medio and anulare and mignolo
Infatti un dito non può essere contemporaneamente pollice, indice, medio, anulare e mignolo.
Quindi, anche in caso di cardinalità uno, dobbiamo per forza scrivere:
N(dito della mano destra) = N(pollice) and N(indice) and N(medio) and N(anulare) and N(mignolo)
In base a questa teoria è evidente che ogni oggetto dei nostri pensieri può essere immaginato in maniera duale, cioè come una serie di elementi disgiunti tra loro, in somma logica, che costituiscono il concetto, oppure congiunti, in un prodotto logico, che costituiscono il raggruppamento del concetto.
Per esempio, un singolo giorno della settimana può essere pensato come il lunedì, oppure il martedì, fino ad arrivare alla domenica.
G = LU or MA or ME or GI or VE or SA or DO
Dopodiché possiamo pensare la settimana, cioè l’insieme di quei giorni, come il raggruppamento degli stessi elementi, sostituendo l’operatore “or” con “and”:
S = N(G) = N(LU) and N(MA) and N(ME) and N(GI) and N(VE) and N(SA) and N(DO)
Un aspetto interessante di questa teoria è che, considerando gli insiemi come raggruppamenti, scompare il paradosso di Bertrand Russell, senza ricorrere ad artifici, perché un raggruppamento contiene sempre se stesso: N(x) = N(x) and N(x).
Le figure estese nello spazio
D’ora in poi utilizzerò i termini “corpo” e “corporeità”.
Quando utilizzerò questi termini, mi riferirò sempre al senso letterale della parola, cioè a oggetti materiali, estesi nello spazio, dotati di altezza, larghezza o spessore, ma non ai corpi algebrici. Pertanto consideriamo corporee le figure geometriche, come punti, segmenti, cerchi e triangoli, ma anche oggetti materiali come animali, piante e persone. Al contrario consideriamo incorporei numeri ed espressioni matematiche, ma più in generale sentimenti, emozioni, concetti e verbi, che non hanno altezza, larghezza o spessore.
Ebbene, l’aspetto più importante dei raggruppamenti, di cui vorrei discutere in questo documento, è che consentono di distinguere un oggetto corporeo da un oggetto incorporeo.
Vediamolo in dettaglio.
Quando nel prodotto logico appare un elemento in più, estraneo agli elementi in somma logica, automaticamente si ottiene un oggetto corporeo. Per esempio la seguente espressione identifica un oggetto corporeo:
x = x1 or x2 or x3 or … or xj
N(x) = N(x1) and N(x2) and N(x3) and … and N(xj) and {N(k)}
La parte {N(k)} è stata inserita tra parentesi graffe per evidenziare che l’elemento k non si trova tra quelli in somma logica. La parte {N(k)} verrà chiamata “parte estranea/complessiva” perché si tratta di un oggetto estraneo a quelli in somma logica, che acquisisce un significato solo complessivamente nel prodotto logico.
Vediamo un esempio concreto.
La prossima figura rappresenta un quadrato.
Il singolo elemento che compone il quadrato corrisponde a uno dei quattro triangoli Tj, cioè:
T = T1 or T2 or T3 or T4
Complessivamente, il quadrato corrisponde alla seguente proposizione:
Quadrato = N(T) = N(T1) and N(T2) and N(T3) and N(T4) and {N(K)}
Non basta infatti scrivere che il quadrato corrisponde al raggruppamento di tutti i triangoli Tj, ma occorre aggiungere un elemento {N(K)} che lo caratterizza complessivamente, e che nello specifico potrebbe indicare: “ha tutti i lati uguali”, altrimenti la figura non sarebbe un quadrato.
In altre parole, {N(K)} deve specificare il modo in cui i triangoli sono raggruppati.
Quindi {N(K)} è una proprietà di N(T), esattamente come i singoli N(Tj).
Se invece di scrivere {N(K)}="ha tutti i lati uguali", avessimo scritto {N(K)}="ha i triangoli uno sotto l'altro", oppure {N(K)}="ha i triangoli uno accanto all'altro", avremmo ancora ottenuto oggetti corporei estesi nello spazio, come si deduce dalla prossima immagine. È solamente la mancanza dell'elemento {N(K)} che rende l'oggetto incorporeo, riducendolo a una lista astratta di triangoli, senza estensione spaziale.
Si noti che anche se volessimo disintegrare il quadrato della figura precedente, continueremmo ad ottenere oggetti corporei estesi nello spazio. In questo caso li scriveremmo come:
x = x1 or x2 or x3 or … or xj
Corpo = N(x1) and N(x2) and N(x3) and … and N(xj) and {N(k)}
Dove gli xj sono i pezzi sparpagliati ed {N(k)} sta a significare che quei pezzi saranno equidistanti da un punto specifico sul piano, oppure equidistanti fra loro, oppure semplicemente giacenti sul piano.
Solo nel caso di un insieme astratto e incorporeo avremmo {x1, x2, x3,…, xj} che corrisponde a N(x1) and N(x2) and N(x3) and … and N(xj)
senza la parte estranea/complessiva {N(k)}
Di seguito vedremo che {N(k)} è necessario e sufficiente per distinguere il corporeo dall’incorporeo. Vedremo cioè che qualsiasi oggetto corporeo, esteso nello spazio, contiene {N(k)} nel prodotto logico, mentre qualsiasi oggetto incorporeo non lo contiene.
Corporeità delle coniche
Le coniche sono luoghi di punti che obbediscono a una proprietà estranea/complessiva ai punti stessi. In altre parole una conica può essere scritta come di seguito:
p = p1 or p2 or… or pn
Conica = N(p) = N(p1) and N(p2) and… and N(pn) and {N(k)}
Dove p è il punto generico e {N(k)} è la proprietà estranea/complessiva che esula dai singoli punti “pj” e che vorrà dire equidistanza da un punto centrale, da una retta, o equivalenza della somma delle distanze dai fuochi, in modo da ottenere complessivamente cerchi, ellissi, parabole e iperboli.
Corporeità della Geometria Analitica
In base ai principi della geometria analitica, un’espressione matematica, come ”y = x”, corrisponde, come per magia, a una struttura corporea estesa nello spazio, per esempio una retta, una conica, o qualsiasi altra figura. Come è possibile questa associazione ?
Adesso vedremo come sia possibile spiegare la corporeità degli assi cartesiani e dei punti sul piano.
Spieghiamo prima la corporeità degli assi x ed y.
Scriviamo il seguente raggruppamento di numeri reali:
N(r) = N(x1) and N(x2) and … and N(xj)
Se questo raggruppamento fosse in ordine crescente, dovremmo aggiungere questa condizione nel prodotto logico, cioè:
r = x1 or x2 or … or xj
N(r) = N(x1) and N(x2) and … and N(xj) and {N(k)}
con {N(k)}=”ordine crescente”
Da ciò scaturisce che qualsiasi serie di numeri in ordine crescente è corporea ed estesa nello spazio, per via della presenza dell’elemento {N(k)} che esula dai singoli numeri, e questo spiega la corporeità degli assi cartesiani, che corrispondono a rette, cioè a figure geometriche.
Si noti che anche nel caso di numeri interi avremmo avuto lo stesso risultato, perché l’ordine crescente comporta sempre un criterio da sinistra verso destra, oppure dal basso verso l’alto, che sono tutti concetti inerenti l’estensione nello spazio (e questo spiega anche la possibilità di costruire termometri e orologi con tacche di numeri interi).
Di seguito spieghiamo la corporeità dei punti sul piano cartesiano.
Scriviamo il seguente raggruppamento di due numeri reali:
N(r) = N(x0) and N(y0)
Se questo raggruppamento dovesse corrispondere a una coppia di coordinate sul piano cartesiano, cioè Punto=(x0,y0), allora sarebbe necessario aggiungere questa caratteristica come elemento {N(k)} nel prodotto logico, perché altrimenti x0 ed y0, che sono solamente numeri reali, non implicano che si tratti di coordinate. Quindi dovremmo scrivere:
r = x0 or y0
Punto = N(r) = N(x0) and N(y0) and {N(k)}, dove {N(k)}=”coordinate sul piano”.
Da ciò scaturisce che tutti i punti sul piano cartesiano sono corporei, per via della presenza dell’elemento {N(k)} che esula dai singoli numeri. Di conseguenza tutte le figure costituite da punti sul piano sono corporee.
Incorporeità delle funzioni
Invece, a quanto pare, sembra che la proprietà F che identifica la funzione non la renda corporea. Infatti possiamo stabilire una funzione che collega ogni singolo numero x a un altro numero y, ciononostante l’insieme ottenuto rimane incorporeo.
Questo concetto può essere espresso tramite le seguenti due espressioni:
xFy = (x0Fy0) or (x1Fy1) or… or (xnFyn)
N(xFy) = N(x0Fy0) and N(x1Fy1) and… and N(xnFyn)
La prima espressione definisce l’associazione generica tra due numeri x e y tramite la funzione F. La seconda espressione definisce il raggruppamento di tutte le associazioni precedenti, dove si vede chiaramente che è incorporeo, perché non c’è una parte estranea/complessiva {N(k)} che esula dalla definizione delle singole associazioni xFy che abbiamo generato. Questo concetto trova un immediato riscontro nella realtà: per esempio l’insieme delle patate è incorporeo, anche se le patate, prese singolarmente, sono corporee. Infatti un insieme di patate non ha altezza, larghezza o spessore, anche se le singole patate lo hanno. Se proviamo a stabilire una funzione tra le patate, che associa a ognuna di esse un’altra che ha la stessa forma, l’insieme finale che ne risulta continua a essere incorporeo.
Differenza tra l’umanità e l’uomo
Con i prossimi esempi vedremo che la parte estranea/complessiva consente di distinguere gli oggetti corporei dagli incorporei nella vita di tutti i giorni, non solo in matematica.
Di seguito discutiamo la differenza tra l’umanità, che è incorporea, e l’uomo, che è corporeo.
L’umanità non ha altezza, larghezza o spessore, ma è un concetto incorporeo che può riferirsi a una serie di caratteristiche, come pensare, lavorare, fare del bene e via dicendo. Di seguito vediamo due espressioni, dove nella prima viene descritto un singolo esempio di umanità come somma logica di diverse opzioni, e nella seconda viene descritta complessivamente come il raggruppamento di tutti questi esempi in un prodotto logico. Si noti che non appare alcun elemento {N(k)} estraneo ai singoli esempi:
Esempio = pensare or lavorare or fare del bene
Umanità = N(esempio) = N(pensare) and N(lavorare) and N(fare del bene).
Al contrario l’uomo è corporeo, perché dotato di altezza, larghezza e spessore. Di conseguenza vediamo due espressioni, dove nella prima viene descritto un atomo generico che lo compone, e nella seconda viene descritto il raggruppamento di tutti questi atomi più un elemento {N(k)} che ne caratterizza la forma complessiva, oppure ne descrive la capacità di pensare, lavorare e fare del bene, altrimenti non sarebbe un uomo, ma una lista astratta di atomi:
Atomo = A1 or A2 or… or An
Uomo = N(Atomo) = N(A1) and N(A2) and… and N(An) and {N(k)}
Di seguito descriviamo la differenza tra il tramonto, che è incorporeo, e l’atmosfera, che è corporea. Il tramonto non ha altezza, larghezza o spessore, ma è un concetto incorporeo che può riferirsi a una serie di caratteristiche, come un bel panorama, il Sole che tramonta, l’imbrunire e le rondini. Di seguito vediamo due espressioni, dove nella prima viene descritta una caratteristica generica del tramonto come una somma logica, e nella seconda viene descritto il tramonto come il raggruppamento in un prodotto logico. Si noti che non appare alcun elemento {N(k)} estraneo alle singole caratteristiche:
caratteristica = bel panorama or Sole che tramonta or imbrunire or rondini
Tramonto = N(caratteristica) = N(bel panorama) and N(Sole che tramonta) and N(imbrunire) and N(rondini)
Al contrario l’atmosfera è corporea, perché dotata di altezza, larghezza e spessore. Di conseguenza vediamo due espressioni, dove nella prima vengono descritti gli elementi che la compongono, e nella seconda viene descritto il raggruppamento di tutti questi elementi più una parte {N(k)} che ne caratterizza la forma sferica e la disposizione complessiva:
Elemento = aria or nuvola or rondine
Atmosfera = N(Elemento) = N(aria) and N(nuvola) and N(rondine) and {N(k)}
Astratto e concreto
Attenzione perché la differenza tra incorporeo e corporeo non c’entra niente con la differenza tra astratto e concreto. Per esempio il triangolo è un concetto astratto, eppure è corporeo, perché ha una forma spaziale. Al contrario un incontro di boxe è concreto, come può testimoniare qualsiasi pugile che prende pugni, eppure è incorporeo, perché non ha una forma spaziale.
I concetti concreti sono quelli che implicano gli altri concetti, senza a loro volta essere implicati da altri. Nei diagrammi di Venn i concetti concreti corrispondono a punti e gli astratti a cerchi.
Per esempio Socrate è concreto, mentre il filosofo è astratto:
Socrate --> filosofo
La distinzione tra astratto e concreto non è rigida, perché ogni oggetto può essere astratto o concreto a seconda dei casi: per esempio una pietra può sembrare concreta, ma posso riferirmi a una pietra in senso astratto; allo stesso modo il concetto di fare il bene può sembrare astratto, ma posso trasporlo in una lunga serie di atti concreti.
La parte estranea/complessiva {N(k)} è necessaria e sufficiente
Finora abbiamo visto che la parte estranea/complessiva è necessaria per costituire un raggruppamento corporeo, esteso nello spazio. Adesso vedremo che è anche sufficiente, perché nessun raggruppamento incorporeo la possiede. I raggruppamenti incorporei hanno sicuramente una proprietà complessiva, ma questa proprietà si deduce già dai singoli componenti, oppure dalla loro aggregazione, senza aggiungere {N(k)} in coda.
Vediamolo con alcuni esempi.
Un insieme di numeri multipli di 4 è incorporeo, non ha altezza, larghezza o spessore, e infatti non ha bisogno di {N(k)}, perché la sua proprietà si deduce già osservando i singoli componenti, come possiamo notare di seguito:
N(4) and N(8) and N(16)
Un insieme di numeri primi tra loro è incorporeo, non ha altezza, larghezza o spessore, e infatti non ha bisogno di {N(K)}, perché la sua proprietà si deduce già dalla loro aggregazione, anche se non dai singoli elementi, come possiamo notare di seguito:
N(3) and N(5) and N(17)
Un insieme di numeri metà pari e metà dispari , è incorporeo, non ha altezza, larghezza o spessore, e infatti non ha bisogno di {N(k)}, perché la sua proprietà si deduce osservando i suoi elementi, come possiamo notare di seguito:
N(4) and N(3) and N(17) and N(18)
Un pensiero è incorporeo, non ha altezza, larghezza o spessore, e infatti non ha bisogno di {N(k)}, perché il suo significato complessivo si comprende già dal raggruppamento dei singoli elementi, come possiamo notare di seguito:
N(“dopo secoli”) and N(“la logica”) and N(“progredisce”)
Una società è un concetto incorporeo, non ha altezza, larghezza o spessore, però presuppone un insieme corporeo di persone, separate nello spazio. Infatti una stessa persona che assume ruoli diversi oppure singole persone in tempi diversi non potrebbero mai costituire una società. Quindi occorre aggiungere un elemento {N(k)} che indichi la distanza fisica tra una persona e l’altra, cioè un’estensione nello spazio:
N(impiegato) and N(infermiere) and N(tecnico) and… and {N(k)}
Il teorema dell’estensione nello spazio
Un oggetto corporeo contiene sempre nel suo interno un altro oggetto corporeo.
Dimostrazione.
Supponiamo un oggetto corporeo N(x), cioè esteso nello spazio, per cui:
x = x1 or x2 or x3 or x4
e
N(x) = N(x1) and N(x2) and N(x3) and N(x4) and {N(k)}
Supponiamo che {N(k)} sia incorporeo e che quindi non contenga elementi estranei/complessivi nel prodotto logico, cioè:
k = k1 or k2 or k3 or k4
da cui
N(k) = N(k1) and N(k2) and N(k3) and N(k4)
In tal caso potremmo riscrivere il primo oggetto come di seguito:
x = x1 or x2 or x3 or x4 or k1 or k2 or k3 or k4
e
N(x) = N(x1) and N(x2) and N(x3) and N(x4) and N(k1) and N(k2) and N(k3) and N(k4)
Ma allora anche N(x) sarebbe incorporeo, perché non conterrebbe elementi estranei/complessivi nel prodotto logico, contro l’ipotesi iniziale.
È necessario quindi che se N(x) è corporeo, lo sia anche la parte {N(k)} estranea/complessiva contenuta al suo interno.
COROLLARIO:
Questo teorema può essere applicato ricorsivamente, pertanto se un oggetto corporeo ne deve contenere almeno un altro nel proprio interno, si deduce che quest'ultimo, essendo a sua volta corporeo, ne conterrà ancora un altro nel proprio interno, e così via, per cui l’estensione nello spazio è divisibile all’infinito. Questo vuol dire che ogni oggetto corporeo può essere diviso in altri corpi più piccoli, anche se la proprietà estranea/complessiva di questi ultimi assumerà un significato diverso (per esempio i frammenti di un quadrato non avranno necessariamente i lati uguali).
Diagrammi tridimensionali di Venn
I concetti e i loro raggruppamenti possono essere raffigurati in un unico diagramma tridimensionale di Venn, dove le due proiezioni ortogonali corrispondono separatamente ai concetti e ai raggruppamenti di una stessa idea. In una proiezione ortogonale i componenti sono vicendevolmente esclusivi e la loro intersezione restituisce l'insieme vuoto. Nell’altra proiezione ortogonale i componenti si intersecano tra loro. Nella prossima immagine vediamo il lancio di una moneta: il singolo lancio può dare testa o croce, e una delle due opzioni esclude l'altra, però il raggruppamento dei lanci che danno testa e di quelli che danno croce non si escludono, ma si intersecano per restituire il raggruppamento complessivo di tutti i lanci.
Di seguito vediamo il diagramma tridimensionale di un oggetto corporeo, esteso nello spazio. La parte estranea complessiva è presente solo nella proiezione del raggruppamento, pertanto appare come un chiodo, che passa all’interno dei parallelepipedi per tenerli uniti in una giunzione.
La logica dei predicati deriva dalla logica proposizionale
L’associazione di una proprietà F a un oggetto x, cioè “Fx” si può ricondurre ad un prodotto logico tra un oggetto incorporeo F e un oggetto corporeo x.
Per esempio “l’uomo è felice” può essere scritto come “Fu”, ma anche come:
F and u
Dove F è incorporeo ed u è corporeo, cioè:
F = N(y1) and N(y2) and … and N(yj)
u = N(x1) and N(x2) and … and N(xj) and {N(k)}
Dopodichè anche la Teoria degli Insiemi si può ridurre ad una teoria dei raggruppamenti.
Prospettive per l’Intelligenza Artificiale
Attualmente l’intelligenza artificiale non prevede che una macchina possa comprendere concetti, o capire la differenza tra oggetti materiali e sentimenti.
Una frase come “la ragazza è bella” può essere compresa solamente tramite procedimenti euristici.
In parole povere, attualmente le macchine imitano solamente la mente umana.
Al contrario, una proposizione come “2 + 1 = 3” viene calcolata senza ricorrere a procedimenti euristici e proprio per questo i calcolatori sono più efficienti dell’intelligenza artificiale.
Una volta assimilata la differenza tra corporeo e incorporeo, la macchina sarebbe in grado di calcolare anche espressioni come “la ragazza è bella”, oppure “il triangolo è scaleno” senza ricorrere a procedimenti euristici, quindi sarebbe in grado di pensare in autonomia, con un certo grado di consapevolezza.
